Duvidas e Explicações - Matriz

Comece seguindo os passos e prestando atenção na seguinte imagem para esta aula de matriz. 

2.   Agora é possível localizar qualquer elemento em uma estrutura deste tipo. Veja a seguir:

3.   É isto! Simples! Veja mais:

Pois É! Uma lei ou método, pode determinar o preenchimento desta estrutura. A esta estrutura foi dado o nome de MATRIZ e, no caso, por possuir três linhas e três colunas é chamada de MATRIZ QUADRADA 3×3(Lê-se três por três). Obviamente, podemos ter matrizes quadradas 2×2, 4×4, … e por aí vai. No entanto, ela não precisa ser quadrada. Ela pode ser 2×1, 3×2, etc.

Um problema em relação à esta matriz que apresentamos está na notação, ou seja, desenhar a grade, escrever linha 1, linha 2, …, linha n(Entenda n como uma linha qualquer), coluna 1, …, coluna n, é muito complicado. Por isso, adotou-se uma notação melhor. Continuando nossa aula de matriz, veja:

E aí? O que aprendeu nesta aula de matriz? Descreva ou colabore aqui entrando no grupo de Matrizes para compartilhar seu aprendizado disponibilizando-o na opção documentos. Compartilhe! Abaixo você terá links para se aperfeiçoar.

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Exercícios

1.   Obter a matriz A = (aij)2×2 definida por aij = 3 i – j

3.   Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3×4 sabendo que aij = 2i – 3j

Como foi perguntado em sala e nenhum aluno apresentou duvida, indicamos apenas uma vídeo aula para aumentar o conhecimento 


https://www.youtube.com/watch?v=sw18GQESKpA

Nomeclatura

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Área de anexos

Visualizar o vídeo Matemática - Aula 19 - Matrizes - Conceitos Iniciais - Parte 1 do YouTube

Matemática - Aula 19 - Matrizes - Conceitos Iniciais - Parte 1

Matrizes - Conceitos Iniciais

https://www.youtube.com/watch?v=sw18GQESKpA

Geometria Especial : Pirâmides

http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial19.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm

MATEMÁTICA

Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.

Observe que, diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na composição do tronco de cone.

Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso.

h = altura
g = geratriz

As fórmulas referentes ao cálculo da área superficial e do volume são as seguintes:

Área Superficial

 Volume 

 
Exemplo 1

Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14.

 Exemplo 2

Um tronco de cone possui a medida dos raios igual a 5 m e 8 m. Sabendo que a medida da altura é igual a 4, determine a área superficial desse sólido.

 
Para determinarmos a área superficial devemos calcular a geratriz desse tronco de cone. Observe o cálculo realizado:

 Utilizando o Teorema de Pitágoras temos:

g² = 4² + 3²
g² = 16 + 9
g² = 25
√g² = √25
g = 5

Calculando a área superficial

 

Página- 227: 9 e 10

            238: 11,13 e 15

            242: 22

            249: 27,28 e 31

            251: 32

            252: 4

            254: 22

            262: 4

            263: 9 e 13

            269: 18,20 e 23

            271: 25 e 26 

Exercicios Sobre Prismas, Pirâmide e Cubo

Exercicios Sobre Prismas, Pirâmide e Cubo

Prismas

Questão 1:

Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:

a) a área de uma face lateral.
b) a área de uma base.
c) a área lateral.
d) a área total.










Resolução:

a) Af = (6.10) cm²
    Af = 60 cm²

b) Cada base é um triângulo equilátero de lado 6 cm. Lembrando que a altura h de um triângulo equilátero de lado a é dada por

Portanto, a área B de uma base é:

c) A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:

AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²

d) A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:

At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²

Questão 2:

Um prisma reto de altura 10 cm tem como polígonos das bases triângulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm. Calcule a área total desse prima.

Resolução: 

Questão 3:

Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:

a) a área de cada face lateral;
b) a área de uma base;
c) a área lateral;
d) a área total;





Resolução:


a) Af = b . h
    Af = 4 .8
    Af = 32 dm²

b) Ab = (6.10 √3) / 4
    Ab = 24 √3 dm²

c) AL = 6.4.8
   AL = 192 dm²

d) At = 2.24 √3 +192
    At = 48 √3 + 192 dm²


Diagonais do Paralelepípedo 

Questão 1:

As dimensões de um paralelepípedo reto-retângular são 20 cm, 12 cm e 9 cm.Calcular a medida de uma diagonal desse paralelepípedo.

Resolução:

D = √a² + b² + c²
D = √20² + 12² + 9²
D = √400 + 144 + 81
D = √625
D = 25 cm²

Questão 2:

O comprimento EA, a largura EH e a altura EF do paralelepípedo reto-retângulo representado ao lado são 12 cm, 3 cm e 4cm, respectivamente:

Calcule:

a) a medida de uma diagonal da face EFGH;
b) a medida de uma diagonal do paralelepípedo;
c) a área total do paralelepípedo;
d) o volume do paralelepípedo;





Resolução:

a)  D = √3²+4²
     D = √9 + 16
     D = √25
     D = 5 cm²

b)  D = √3² + 4² + 12²
     D = √9 + 16 + 144
     D = √169
     D = 13 cm²

c) A1 = 12 . 3          A2 = 4.3        At = A1 + A2
   A1 = 36               A2 = 12         At = 144 + 24
   A1 = 4.36            A2 = 2.12       At = 168 cm²
   A1 = 144             A2 = 24

d) V = b.h.l
    V = 12.3.4
    V = 169 cm³


Cubo 

Questão 1

A área total de um cubo é 54 cm². Calcule a medida da diagonal desse cubo.

Resolução:

Ac = 6a²              dc = a√3
54 = 6a²              dc = 3√3cm²
54 /6 = a²
a = √9
a =3 cm


Questão 2

A diagonal de um mede √75 cm .Calcule a área total desse cubo:

Resolução:


d = √75
d = L√3
√75 = L√3
5√3 = L√3
L = (5√3) / √3
L = 5 cm

Questão 3:

Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm,então o volume desse cubo, em centímentros cúbicos, é:

a) 125 cm³
b) 100 cm³
c) 75 cm³
d) 60 cm³
e) 25 cm³









Resolução:

12 arestas

60 cm / 12 = 5

V = 5³ = 125 cm³

Letra a) 125 cm³

MEDIDAS DE VOLUME

               

            As medidas de volume possuem grande importância nas situações envolvendo capacidades de sólidos. Podemos definir volume como o espaço ocupado por um corpo ou a capacidade que ele tem de comportar alguma substância. Da mesma forma que trabalhamos com o metro linear (comprimento) e com o metro quadrado (comprimento x largura), associamos o metro cúbico a três dimensões: altura x comprimento x largura.

As unidades de metro cúbico são: quilômetros cúbicos (km³), hectômetros cúbicos (hm³), decâmetros cúbicos (dam³), metros cúbicos (m³), decímetros cúbicos (dm³), centímetros cúbicos (cm³), milímetros cúbicos (mm³). Observe a tabela e os métodos de transformação de unidades de volume:

1 – Transformando 12km³ em m³ = 12 x 1000 x 1000 x 1000 = 12 000 000 000 m³
2 – Transformando 2m³ em cm³ = 2 x 1000 x 1000 = 2 000 000 cm³
3 – Transformando 1000cm³ em m³ = 1000: 1000 : 1000 = 0,001 m³
4 – Transformando 5000dm³ em m³ = 5000 : 1000 = 5 m³
5 – Transformando 50 000 000m³ em km³ = 50 000 000 : 1000 : 1000 : 1000 = 0,05 km³

De acordo como Sistema Internacional de medidas (SI), o metro cúbico é a unidade padrão das medidas de volume. Um metro cúbico (1m³) corresponde a uma capacidade de 1000 litros. Essa relação pode ser exemplificada em conjunto com a Geometria, através de um cubo com arestas medindo 1 metro.

Curiosidades Matemáticas

Livro:Fundamentos De Matemática Elementar

Fundamentos da Matemática Elementar' é uma coleção consagrada ao longo dos anos por oferecer ao estudante o mais completo conteúdo de Matemática elementar. A coleção atende a alunos do ensino médio que procuram uma formação mais aprofundada, estudantes em fase pré-vestibular e também universitários que necessitam rever a Matemática Elementar. Os volumes contêm teoria e exercícios de aplicação, além de uma seção de testes de vestibulares, acompanhados de respostas. Há ainda uma série de artigos sobre a história da Matemática relacionados aos temas abordados. Na presente edição, a seção de testes de vestibulares foi atualizada, apresentando novos testes selecionados a partir dos melhores vestibulares do país.

    

Video Aula : Poliedros

POLIEDROS

https://www.youtube.com/watch?v=a_IVrIfNS0k

Rain Man

Tom Cruise é um vendedor ambicioso que descobre no enterro do pai ter um irmão mais velho - Dustin Hoffman -, que vive num sanatório, é autista, mas tem uma inteligência matemática prodigiosa. Levou quatro Oscars: Melhor filme, diretor, roteiro e ator,

Gênio Indomável

Matt Damon é um faxineiro do MIT que tem o dom da matemática e é descoberto ao resolver um problema, mas precisa da ajuda de um psicólogo para encontrar a direção na sua vida. um filme inspirador de Gus Van Sant, que ganhou os Oscars de ator coadjuvante para Robin Williams e de roteiro original para a dupla Damon e Ben Affleck

POLIEDROS

Os poliedros são figuras geométricas formadas por vértices, arestas e faces. Através da expressão de Euler, é possível determinar o número de vértices, arestas e faces dos poliedros.

As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros.

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes.

Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são:

Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro.

A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:

V = vértice

A = arestas

F = Faces

Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro.

Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo Platão estudou os poliedros platônicos relacionando-os aos elementos da natureza. Veja a associação feita por ele:

Tetraedro: fogo

Hexaedro (cubo): terra

Octaedro: ar

Icosaedro: água

Dodecaedro: universo

Além dos poliedros de Platão, os sólidos geométricos como: prismas, pirâmides, paralelepípedos, blocos retangulares e quadrangulares são considerados poliedros.

Setor circular

Um sector circular ou sector de círculo, também conhecido comofatia de pizza, é a parte de um círculo limitada por dois raios e umarco. Dependendo do valor de seu ângulo central, um setor pode ser classificado como metades (180º), quadrantes (90º) e oitantes (45º).1

Cálculo da área em função do ângulo central

Seja θ o ângulo central, em radianos, e  o raio. A área total de um círculo é . A área do sector pode ser obtida multiplicando-se a área total do círculo pela razão entre θ e , já que a área do sector é diretamente proporcional ao ângulo:

Também, se θ refere-se ao ângulo central em graus, uma fórmula similar pode ser derivada:

Cálculo da área em função do comprimento do arco

O comprimento, , do arco de um sector é dado pela seguinte fórmula:

onde θ está em graus. Quando θ estiver em radianos, a fórmula anterior pode ser reescrita como

Dessa forma, substituindo o valor de L encontrado acima na fórmula para o cálculo da área, podemos obter a área do setor circular em função de tal comprimento, conforme a seguinte equação:

Área das figuras planas

Retângulo	Quadrado
Triângulo	Paralelogramo
Trapézio	Losango
Triângulo equilátero Como calcular área do círculo e do setor circular – Fórmula da área Calcular a área de um círculo e do setor circular é muito pedido em diversos exercícios e nas diversas provas de vestibulares pelo país. Área do círculo A fórmula para calcular a área do círculo é a seguinte: A = πr2 . O “r” significa raio e pode ser calculado dividindo o valor do diâmetro por dois. Ou seja, o raio é a metade do diâmetro. Área do setor circular Se o ângulo central for dado em radianos a fórmula para calcular a área do setor circular será: Se o ângulo central for dado em graus a fórmula para calcular a área do setor circular será: Se for dado r e l a fórmula para calcular a área do setor circular será: Na figura abaixo o “α” representa o ângulo, o “r” o raio e o “l” o comprimento do arco do setor circular. A parte riscada de azul da figura representa a área do setor circular.