Matemática Central : abril 2015

MATEMÁTICA : CONCEITO

A matemática é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. A matemática estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas. Um trabalho matemático consiste em procurar por padrões, formular conjecturas e, por meio de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições, estabelecer novos resultados.
A matemática desenvolveu-se principalmente na Mesopotâmia, no Egito, na Grécia, na Índia e no Oriente Médio. A partir da Renascença o desenvolvimento da matemática intensificou-se na Europa, quando novas descobertas científicas levaram a um crescimento acelerado que dura até os dias de hoje.
Registros arqueológicos mostram que a matemática sempre foi parte da atividade humana. Ela evoluiu a partir de contagens, medições, cálculos e do estudo sistemático de formas geométricas e movimentos de objetos físicos. Raciocínios mais abstratos que envolvem argumentação lógica surgiram com os matemáticos gregos aproximadamente em 300 a.C., notadamente com a obra Os Elementos de Euclides. A necessidade de maior rigor foi percebida e estabelecida por volta do século XIX
Euclides matemático grego representado por Raphael em A Escola de Atenas.
Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas. Uma outra definição seria que matemática é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matemática pura), por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.

A matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medicina, física, química, biologia, e ciências sociais. Matemática aplicada, ramo da matemática que se ocupa de aplicações do conhecimento matemático em outras áreas do conhecimento, às vezes leva ao desenvolvimento de um novo ramo, como aconteceu com Estatística ou teoria dos jogos. O estudo de matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos das cônicas ou de teoria dos números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.

Grupo 3

A Invenção da Trigonometria.

As primeiras ideias sobre uma “geometria social ou prática” são bem antigas, surgiram da

necessidade dos povos antigos em lidar com números e relacioná-los aos problemas que

tivessem alguma utilidade. Um dos mais antigos exemplos desse utilitarismo foi a preparação

de uma Tabela (Plimpton 322), feita pelos babilônios, no período 1900-1600 a.C., e que,

somente na Idade Média a mesma foi interpretada como representando o quadrado da

secante de um arco A (sec2 A). É oportuno registrar que os babilônios, bem como os

egípcios, não conheciam a medida moderna de um ângulo e, muito menos, o conceito de

secante. Eles, no entanto, desenvolveram modos de medir os lados de um triângulo, ou seja,

a “trilaterometria”, mais tarde, no final do Século 16 d.C., denominada de trigonometria.

Foi somente na Grécia Antiga que se iniciou um estudo sistemático da relação entre

ângulos (arcos) em um círculo e o comprimento das cordas que os subentendia. Esse estudo,

por exemplo, permitiu que o astrônomo grego Aristarco de Samos (c.320-c.250) calculasse os

tamanhos do Sol, Terra e Lua e suas respectivas distâncias, registrado em seu livro Sobre os

Tamanhos e as Distâncias do Sol e da Lua, publicado por volta de 260 a.C. Registre-se que,

para tais cálculos, Aristarco usou os conhecimentos geométricos dos gregos, o filósofo Tales

de Mileto (624-546) e o matemático Euclides de Alexandria (c.323-c.285). Foi também por

intermédio da “geometria social ou prática” que o astrônomo grego Eratóstenes de Cirena

(c.276-c.196) mediu pela primeira vez o diâmetro da Terra, por volta de 240 a.C.

O trabalho incansável do astrônomo grego Hiparco de Nicéia (c.190-c.120) sobre os

eclipses solares e lunares, levou-o a construir uma tabela de cordas (ligando dois pontos

localizados em um círculo cujo raio tomou como sendo unitário). Com auxílio dessa tabela e a

divisão do circulo de 3600 [proposto pelo astrônomo grego Hypsicles de Alexandria (c.150

a.C.)] - com as subdivisões do diâmetro em 120 partes, com cada uma dessas partes dividida

em 60 partes [hoje, minuto (’)] e estas, também, divididas em 60 partes [hoje, segundo (“)],

conforme haviam considerado os babilônios dos últimos séculos a.C. -, Hiparco encontrou os

seguintes valores, em função do raio terrestre (RT): distância Terra-Sol ~ 2500 RT; distância

Terra-Lua ~ 60 RT; raio do Sol ~ 12 RT e raio da Lua ~ 0,29 RT. Em virtude desse trabalho de

Hiparco ele é considerado como o “pai” da trigonometria.

Esse trabalho “trigonométrico” de Hiparco foi completado pelo astrônomo grego Menelaus

de Alexandria (f.c.100 d.C.), em seu livro Cordas em um Círculo. Por sua vez, o astrônomo

grego Cláudio Ptolomeu (85-165), divulgou e utilizou as tabelas de Hiparco em seus trabalhos

em Astronomia e em Óptica; nesta, construiu uma tabela no qual registrava os ângulos de

incidência e de refração de raios luminosos que atravessam superfícies de separação entre

ar-água, ar-vidro e água-vidro, ângulos esses que eram medidos por um aparelho bem

simples inventado por ele próprio. Os resultados dessas medidas foram anotados por

Ptolomeu em seu livro Óptica. [Lancelot Hogben, Maravilhas da Matemática (Editora Globo,

1952); Carl B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley and Sons, 1968); Morris Kline,

Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1972)].

Na Idade Média, uma das primeiras contribuições para o desenvolvimento da

trigonometria deve-se ao astrônomo hindu Aryabhata I (476-c.550) ao adotar um raio de ~

3439 unidades [] para calcular as semicordas dos arcos, mais tarde conhecidas como senos,

como veremos mais adiante. Portanto, segundo essa adoção, por exemplo, vê-se que o seno

de 300, considerado como a metade da corda do arco de 300, vale 1749 (hoje, 0,5). Registre

que os hindus trabalhavam com o equivalente ao nosso cosseno, e eles consideravam o seno

como o complemento do arco considerado para calcular o cosseno. (Kline, op. cit.).

Depois dos hindus, foram os árabes que deram novas contribuições ao estudo

das funções trigonométricas. Com efeito, o astrônomo árabe Abu-´Abdullah Muhammad ibn

Jabir al-Battani (Albatênio) (c.858-929) melhorou as tabelas astronômicas de Ptolomeu,

substituindo os métodos geométricos dos gregos por trigonométricos, utilizando para isso (e

de modo pioneiro) uma tabela de senos, apresentada por ele em seu livro Kitab al-Zig (“Livro

das Tabelas Astronômicas”). Já o astrônomo persa Abu al-Wafa´ (al-Buzajani) (940-948), que

trabalhava no Observatório de Bagdá, elaborou novas tabelas astronômicas, utilizando a

função tangente e sua inversa, a cotangente, já de uso regular pelos astrônomos árabes [por

exemplo, o também médico e filósofo Thabit (Tâbit) ibn-Qo(u)rra (826/836-901) e Albatênio],

bem como inventou as funções secante e cossecante para representar, respectivamente, o

inverso do cosseno e do seno; ele também preparou uma tabela de senos e tangentes para

cada dez minutos (10’) de arco. Por outro lado, o astrônomo armênio Abu Ar-Rayan

Muhammad ibn Ahmad al-Biruni (973-c.1051) demonstrou a hoje conhecida lei dos senos nos

triângulos planos:

Em um triângulo plano com ângulos A, B, C e os respectivos lados opostos a, b, c, tem-se:

a/sen A = b/sen B = c/ sen C.

A sistematização da trigonometria plana e esférica foi realizada pelo astrônomo

árabe Nasir ed-din at Tusi (Nâsir Eddin) (1201-1274) no livro intitulado Treatise on the

Quadrilateral (“Tratado sobre o Quadrilátero”). Neste livro, ele deduziu as fórmulas

fundamentais para resolver triângulos mais gerais, particularmente de triângulos esféricos

retos, aqueles cujos três ângulos internos são perpendiculares. Note que esse livro só foi

conhecido na Europa, em 1450, quando então foi traduzido. É interessante ressaltar que o

matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1230), em seu livro Pratica

Geometriae (“Geometria Prática”), publicado em 1220, divulgou a tabela de senos usada

pelos gregos e romanos, por intermédio de algarismos arábicos.

Antes de prosseguir, creio ser oportuno registrar como surgiu a palavra seno. Os

astrônomos hindus, conforme vimos acima, trabalhavam com a semicorda dos arcos, cuja

expressão em hindu (jiva) foi traduzida pelos árabes como jiba. Contudo, existe em árabe a

palavra jaib, que significa “golfo” ou “enseada”. Portanto, quando o linguista inglês Robert of

Chester (f.c.1150), já em 1145, traduziu os textos árabes, confundiu jiba com jaib, e deu-lhe,

desse modo, o correspondente nome latino: sinus (seno). [Paul Karlson, A Magia dos

Números (Editora Globo, 1961); Boyer, op. cit.].

Novas contribuições à trigonometria foram dadas por astrônomos europeus. Com efeito, o

austríaco George von Puerbach (1423-1461) corrigiu as famosas tabelas alfonsinas

[mandadas preparar pelo Rei espanhol Alfonso X de Castela e Leão (1221-1284), em 1252,

para descrever o movimento dos astros] usando uma tabela de senos naturais, ao invés de

cordas, senos esses calculados com a diferença de dez minutos (10’). Entre 1462 e 1463, o

astrônomo e matemático alemão Johannes (Johann Müller von Königsberg) Montaregio

(Regiomontanus/no) (1436-1476), escreveu o tratado intitulado De triangulis omnimodis

(“Sobre os triângulos de todas as espécies”), composto de quatro livros, nos quais apresentou

a lei dos senos para triângulos planos (vista acima) e esféricos, esta dada pela expressão:

sen a/sen A = sen b/sen B = sen c/sen C.

Ele também deduziu a lei dos cossenos para triângulos planos e esféricos,

respectivamente:

cos A = (c2 + b2 – a2)/(2bc); cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A.

Observe que nos triângulos esféricos, os lados (a, b, c) são arcos de círculo e, portanto, são

dados também em unidades de ângulo [grau (0), minuto (‘) e segundo (“)]. É oportuno

destacar que Regiomontano, para construir sua tabela de senos, usou raios em unidades de

6105, 108 e 6 108. Contudo, para sua tabela de tangentes (que ele apenas chamava de

“tabela de números”) e apresentada no livro Tabulae Directionum (“Tabelas Dirigidas”), escrito

entre 1464-1467 e publicado em 1490, ele usou raios em unidades de 105. Observe que,

como o livro de Regiomontano só foi publicado em 1533, nesse meio tempo, o astrônomo e

matemático alemão Johannes Werner (1468-1522/1528) melhorou e publicou as ideias de

Regiomontano no livro intitulado De Triangulis Sphaericis (“Sobre os Triângulos Esféricos), em

1514.

Uma mudança conceitual do seno foi proposta pelo matemático e astrônomo

austríaco Georg Joachim von Lauchen (Rhaeticus/Rético) (1514-1576), ao considerar que

para um arco OAD, o segmento AB (perpendicular baixada de A ao raio OD) representa o

seno do ângulo AÔB do triângulo OAB. Contudo, ele ainda, como os gregos, hindus e árabes,

preparou uma tabela de senos baseada em raios de várias unidades: 1010 e 1015, e para

cada dez segundos (10”) de arco.

Por sua vez, o advogado e matemático francês François Viète (1540-1603) em

seu livro Canon Mathematics (“A Medida da Matemática”), publicado em 1579, demonstrou a

lei das tangentes:

(a - b)/(a + b) = [tg (1/2)(A – B)]/tg [(1/2)(A + B)].

Além disso, ainda nesse livro, ele apresentou várias identidades conhecidas desde Ptolomeu

(p.e.: sen2 A + cos2 B = 1), deduziu outras, dentre elas:

sen A – sen B = 2 cos [(A + B)/2] sen [(A - B)/2].

Também é de Viète, a dedução de identidades para sen () e cos (), em função de sen () e cos

(), porém, elas só ficaram conhecidas quando seu livro Sectiones Angulares (“Secções

Angulares”), foi postumamente publicado, em 1615.

Note que o nome trigonometria foi cunhado por Bartholomeus Pitiscus (1561-

1613), em 1595, em um pequeno artigo que tratava de triângulos esféricos. Ele repetiu esse

termo em trabalhos publicados em 1600, 1606 e, finalmente, em 1613, no livro denominado

Thesaurus (“Tesouro”), no qual corrigiu e publicou uma segunda tabela de Rético.

Por fim, o físico e matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) no tratado

chamado Introductio in Analysin Infinitorum (“Introdução à Análise do Infinito”), de 1748,

introduziu os senos e tangentes sem dimensões, ou seja, ele considerou o raio da

circunferência como unitário. [D. J. Struik (Editor), A Source Book in Mathematics, 1200-1800

(Harvard University Press, 1969)]. É importante notar que Euler, em trabalhos realizados em

1734-1735 e publicados em 1740, reobteve a fórmula deduzida pelo matemático francês

Abraham de Moivre (1667-1754), em 1707, qual seja:

(cos x + sen x)n = cos (nx) + sen (nx),

Mais tarde, Euler publicou os livros Institutiones Calculi Differentialis (“Livros sobre o Cálculo

Diferencial”), publicada em Berlim, em 1755, e Institutiones Calculi Integralis (“Livros sobre o

Cálculo Integral”), obra em três volumes, publicada em São Petersburgo, de 1768 a 1770, nos

quais conceituou a noção de função – denotada por f (x) – e encontrou a relação entre as

funções trigonométricas e exponenciais, por intermédio da hoje famosa equação de Euler:

exp (i x) = cos (x) i sen (x),

onde i = . Para isso, Euler usou as representações em série, obtidas a partir da famosa

fórmula de Taylor, encontrada pelo matemático inglês Brook Taylor (1685-1731), no livro

intitulado Methodus Incrementorum Directa et Inversa (“Métodos Direto e Inverso de

Incrementações”), publicado em 1715. Desse modo, Euler escreveu:

ex = ; sen x = ; cos x = .

Registre-se que a notação i = foi inventada por Euler, em 1777, no manuscrito intitulado De

Formulis Differentialis Angularibus (“Das Fórmulas Diferenciáveis Angulares”), uma vez que o

símbolo i era usado para denotar “número infinito”, como se pode ver na expressão, que Euler

utilizara antes:

ex = (1 + x/i)i ,

que significava (na notação de hoje):

ex = (1 + x/h)h .

Um dos matematicos mais importantes da historia da matematica

EUCLIDES

NACIONALIDADE Grego

GRANDE FEITO Fundamentou a geometria no século 3 a.C.

‘‘Seu livro Elementos, com os fundamentos da geometria clássica, ainda é

leitura obrigatória entre os matemáticos. Na obra de 23 séculos atrás estão

compilados seus axiomas - verdades lógicas que valem até hoje. Um

exemplo de axioma é "pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer

dois pontos". A obra- prima de Euclides é o segundo livro mais traduzido da

história, atrás apenas da Bíblia.’’

ARQUIMEDES

NACIONALIDADE Grego

GRANDE FEITO Aplicou a geometria na prática no século 3 a.C.

O principal matemático da Antiguidade uniu o mundo abstrato dos números

com o mundo real. É considerado pai da mecânica por estudar forças,

alavancas e densidade de materiais. Foi o primeiro a notar a relação

constante entre o diâmetro e o raio de qualquer circunferência: o número π

(pi). Arquimedes também era inventor. Entre seus trabalhos estão o

parafuso de Arquimedes, usado para tirar água de dentro de navios, e o

aperfeiçoamento da catapulta.

LEONHARD EULER

NACIONALIDADE Suíço

GRANDE FEITO Revolucionou quase toda a matemática no século 18

Seus quase 800 livros fundamentaram campos que seriam estudados

futuramente, como topologia, e revolucionou quase todos os que já

estavam em voga, como cálculo e funções. Ao solucionar um problema que

envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Königsberg,

antiga Prússia, fundou a teoria dos grafos, que possibilitou o surgimento da

topologia e é usada hoje, por exemplo, para

montar as tabelas do Campeonato Brasileiro! Euler ficou cego aos 50 anos

e passou a ditar seus textos ao filho. Muitos matemáticos avaliam que seu

trabalho ficou mais rico após perder a visão.

- O matemático francês François Arago declarou que Euler calculava sem

esforço, "como os homens respiram e as águias mantêm-se no ar"