A Invenção da Trigonometria.
As primeiras ideias sobre uma “geometria social ou prática” são bem antigas, surgiram da
necessidade dos povos antigos em lidar com números e relacioná-los aos problemas que
tivessem alguma utilidade. Um dos mais antigos exemplos desse utilitarismo foi a preparação
de uma Tabela (Plimpton 322), feita pelos babilônios, no período 1900-1600 a.C., e que,
somente na Idade Média a mesma foi interpretada como representando o quadrado da
secante de um arco A (sec2 A). É oportuno registrar que os babilônios, bem como os
egípcios, não conheciam a medida moderna de um ângulo e, muito menos, o conceito de
secante. Eles, no entanto, desenvolveram modos de medir os lados de um triângulo, ou seja,
a “trilaterometria”, mais tarde, no final do Século 16 d.C., denominada de trigonometria.
Foi somente na Grécia Antiga que se iniciou um estudo sistemático da relação entre
ângulos (arcos) em um círculo e o comprimento das cordas que os subentendia. Esse estudo,
por exemplo, permitiu que o astrônomo grego Aristarco de Samos (c.320-c.250) calculasse os
tamanhos do Sol, Terra e Lua e suas respectivas distâncias, registrado em seu livro Sobre os
Tamanhos e as Distâncias do Sol e da Lua, publicado por volta de 260 a.C. Registre-se que,
para tais cálculos, Aristarco usou os conhecimentos geométricos dos gregos, o filósofo Tales
de Mileto (624-546) e o matemático Euclides de Alexandria (c.323-c.285). Foi também por
intermédio da “geometria social ou prática” que o astrônomo grego Eratóstenes de Cirena
(c.276-c.196) mediu pela primeira vez o diâmetro da Terra, por volta de 240 a.C.
O trabalho incansável do astrônomo grego Hiparco de Nicéia (c.190-c.120) sobre os
eclipses solares e lunares, levou-o a construir uma tabela de cordas (ligando dois pontos
localizados em um círculo cujo raio tomou como sendo unitário). Com auxílio dessa tabela e a
divisão do circulo de 3600 [proposto pelo astrônomo grego Hypsicles de Alexandria (c.150
a.C.)] - com as subdivisões do diâmetro em 120 partes, com cada uma dessas partes dividida
em 60 partes [hoje, minuto (’)] e estas, também, divididas em 60 partes [hoje, segundo (“)],
conforme haviam considerado os babilônios dos últimos séculos a.C. -, Hiparco encontrou os
seguintes valores, em função do raio terrestre (RT): distância Terra-Sol ~ 2500 RT; distância
Terra-Lua ~ 60 RT; raio do Sol ~ 12 RT e raio da Lua ~ 0,29 RT. Em virtude desse trabalho de
Hiparco ele é considerado como o “pai” da trigonometria.
Esse trabalho “trigonométrico” de Hiparco foi completado pelo astrônomo grego Menelaus
de Alexandria (f.c.100 d.C.), em seu livro Cordas em um Círculo. Por sua vez, o astrônomo
grego Cláudio Ptolomeu (85-165), divulgou e utilizou as tabelas de Hiparco em seus trabalhos
em Astronomia e em Óptica; nesta, construiu uma tabela no qual registrava os ângulos de
incidência e de refração de raios luminosos que atravessam superfícies de separação entre
ar-água, ar-vidro e água-vidro, ângulos esses que eram medidos por um aparelho bem
simples inventado por ele próprio. Os resultados dessas medidas foram anotados por
Ptolomeu em seu livro Óptica. [Lancelot Hogben, Maravilhas da Matemática (Editora Globo,
1952); Carl B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley and Sons, 1968); Morris Kline,
Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1972)].
Na Idade Média, uma das primeiras contribuições para o desenvolvimento da
trigonometria deve-se ao astrônomo hindu Aryabhata I (476-c.550) ao adotar um raio de ~
3439 unidades [] para calcular as semicordas dos arcos, mais tarde conhecidas como senos,
como veremos mais adiante. Portanto, segundo essa adoção, por exemplo, vê-se que o seno
de 300, considerado como a metade da corda do arco de 300, vale 1749 (hoje, 0,5). Registre
que os hindus trabalhavam com o equivalente ao nosso cosseno, e eles consideravam o seno
como o complemento do arco considerado para calcular o cosseno. (Kline, op. cit.).
Depois dos hindus, foram os árabes que deram novas contribuições ao estudo
das funções trigonométricas. Com efeito, o astrônomo árabe Abu-´Abdullah Muhammad ibn
Jabir al-Battani (Albatênio) (c.858-929) melhorou as tabelas astronômicas de Ptolomeu,
substituindo os métodos geométricos dos gregos por trigonométricos, utilizando para isso (e
de modo pioneiro) uma tabela de senos, apresentada por ele em seu livro Kitab al-Zig (“Livro
das Tabelas Astronômicas”). Já o astrônomo persa Abu al-Wafa´ (al-Buzajani) (940-948), que
trabalhava no Observatório de Bagdá, elaborou novas tabelas astronômicas, utilizando a
função tangente e sua inversa, a cotangente, já de uso regular pelos astrônomos árabes [por
exemplo, o também médico e filósofo Thabit (Tâbit) ibn-Qo(u)rra (826/836-901) e Albatênio],
bem como inventou as funções secante e cossecante para representar, respectivamente, o
inverso do cosseno e do seno; ele também preparou uma tabela de senos e tangentes para
cada dez minutos (10’) de arco. Por outro lado, o astrônomo armênio Abu Ar-Rayan
Muhammad ibn Ahmad al-Biruni (973-c.1051) demonstrou a hoje conhecida lei dos senos nos
triângulos planos:
Em um triângulo plano com ângulos A, B, C e os respectivos lados opostos a, b, c, tem-se:
a/sen A = b/sen B = c/ sen C.
A sistematização da trigonometria plana e esférica foi realizada pelo astrônomo
árabe Nasir ed-din at Tusi (Nâsir Eddin) (1201-1274) no livro intitulado Treatise on the
Quadrilateral (“Tratado sobre o Quadrilátero”). Neste livro, ele deduziu as fórmulas
fundamentais para resolver triângulos mais gerais, particularmente de triângulos esféricos
retos, aqueles cujos três ângulos internos são perpendiculares. Note que esse livro só foi
conhecido na Europa, em 1450, quando então foi traduzido. É interessante ressaltar que o
matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1230), em seu livro Pratica
Geometriae (“Geometria Prática”), publicado em 1220, divulgou a tabela de senos usada
pelos gregos e romanos, por intermédio de algarismos arábicos.
Antes de prosseguir, creio ser oportuno registrar como surgiu a palavra seno. Os
astrônomos hindus, conforme vimos acima, trabalhavam com a semicorda dos arcos, cuja
expressão em hindu (jiva) foi traduzida pelos árabes como jiba. Contudo, existe em árabe a
palavra jaib, que significa “golfo” ou “enseada”. Portanto, quando o linguista inglês Robert of
Chester (f.c.1150), já em 1145, traduziu os textos árabes, confundiu jiba com jaib, e deu-lhe,
desse modo, o correspondente nome latino: sinus (seno). [Paul Karlson, A Magia dos
Números (Editora Globo, 1961); Boyer, op. cit.].
Novas contribuições à trigonometria foram dadas por astrônomos europeus. Com efeito, o
austríaco George von Puerbach (1423-1461) corrigiu as famosas tabelas alfonsinas
[mandadas preparar pelo Rei espanhol Alfonso X de Castela e Leão (1221-1284), em 1252,
para descrever o movimento dos astros] usando uma tabela de senos naturais, ao invés de
cordas, senos esses calculados com a diferença de dez minutos (10’). Entre 1462 e 1463, o
astrônomo e matemático alemão Johannes (Johann Müller von Königsberg) Montaregio
(Regiomontanus/no) (1436-1476), escreveu o tratado intitulado De triangulis omnimodis
(“Sobre os triângulos de todas as espécies”), composto de quatro livros, nos quais apresentou
a lei dos senos para triângulos planos (vista acima) e esféricos, esta dada pela expressão:
sen a/sen A = sen b/sen B = sen c/sen C.
Ele também deduziu a lei dos cossenos para triângulos planos e esféricos,
respectivamente:
cos A = (c2 + b2 – a2)/(2bc); cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A.
Observe que nos triângulos esféricos, os lados (a, b, c) são arcos de círculo e, portanto, são
dados também em unidades de ângulo [grau (0), minuto (‘) e segundo (“)]. É oportuno
destacar que Regiomontano, para construir sua tabela de senos, usou raios em unidades de
6105, 108 e 6 108. Contudo, para sua tabela de tangentes (que ele apenas chamava de
“tabela de números”) e apresentada no livro Tabulae Directionum (“Tabelas Dirigidas”), escrito
entre 1464-1467 e publicado em 1490, ele usou raios em unidades de 105. Observe que,
como o livro de Regiomontano só foi publicado em 1533, nesse meio tempo, o astrônomo e
matemático alemão Johannes Werner (1468-1522/1528) melhorou e publicou as ideias de
Regiomontano no livro intitulado De Triangulis Sphaericis (“Sobre os Triângulos Esféricos), em
1514.
Uma mudança conceitual do seno foi proposta pelo matemático e astrônomo
austríaco Georg Joachim von Lauchen (Rhaeticus/Rético) (1514-1576), ao considerar que
para um arco OAD, o segmento AB (perpendicular baixada de A ao raio OD) representa o
seno do ângulo AÔB do triângulo OAB. Contudo, ele ainda, como os gregos, hindus e árabes,
preparou uma tabela de senos baseada em raios de várias unidades: 1010 e 1015, e para
cada dez segundos (10”) de arco.
Por sua vez, o advogado e matemático francês François Viète (1540-1603) em
seu livro Canon Mathematics (“A Medida da Matemática”), publicado em 1579, demonstrou a
lei das tangentes:
(a - b)/(a + b) = [tg (1/2)(A – B)]/tg [(1/2)(A + B)].
Além disso, ainda nesse livro, ele apresentou várias identidades conhecidas desde Ptolomeu
(p.e.: sen2 A + cos2 B = 1), deduziu outras, dentre elas:
sen A – sen B = 2 cos [(A + B)/2] sen [(A - B)/2].
Também é de Viète, a dedução de identidades para sen () e cos (), em função de sen () e cos
(), porém, elas só ficaram conhecidas quando seu livro Sectiones Angulares (“Secções
Angulares”), foi postumamente publicado, em 1615.
Note que o nome trigonometria foi cunhado por Bartholomeus Pitiscus (1561-
1613), em 1595, em um pequeno artigo que tratava de triângulos esféricos. Ele repetiu esse
termo em trabalhos publicados em 1600, 1606 e, finalmente, em 1613, no livro denominado
Thesaurus (“Tesouro”), no qual corrigiu e publicou uma segunda tabela de Rético.
Por fim, o físico e matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) no tratado
chamado Introductio in Analysin Infinitorum (“Introdução à Análise do Infinito”), de 1748,
introduziu os senos e tangentes sem dimensões, ou seja, ele considerou o raio da
circunferência como unitário. [D. J. Struik (Editor), A Source Book in Mathematics, 1200-1800
(Harvard University Press, 1969)]. É importante notar que Euler, em trabalhos realizados em
1734-1735 e publicados em 1740, reobteve a fórmula deduzida pelo matemático francês
Abraham de Moivre (1667-1754), em 1707, qual seja:
(cos x + sen x)n = cos (nx) + sen (nx),
Mais tarde, Euler publicou os livros Institutiones Calculi Differentialis (“Livros sobre o Cálculo
Diferencial”), publicada em Berlim, em 1755, e Institutiones Calculi Integralis (“Livros sobre o
Cálculo Integral”), obra em três volumes, publicada em São Petersburgo, de 1768 a 1770, nos
quais conceituou a noção de função – denotada por f (x) – e encontrou a relação entre as
funções trigonométricas e exponenciais, por intermédio da hoje famosa equação de Euler:
exp (i x) = cos (x) i sen (x),
onde i = . Para isso, Euler usou as representações em série, obtidas a partir da famosa
fórmula de Taylor, encontrada pelo matemático inglês Brook Taylor (1685-1731), no livro
intitulado Methodus Incrementorum Directa et Inversa (“Métodos Direto e Inverso de
Incrementações”), publicado em 1715. Desse modo, Euler escreveu:
ex = ; sen x = ; cos x = .
Registre-se que a notação i = foi inventada por Euler, em 1777, no manuscrito intitulado De
Formulis Differentialis Angularibus (“Das Fórmulas Diferenciáveis Angulares”), uma vez que o
símbolo i era usado para denotar “número infinito”, como se pode ver na expressão, que Euler
utilizara antes:
ex = (1 + x/i)i ,
que significava (na notação de hoje):
ex = (1 + x/h)h .
Um dos matematicos mais importantes da historia da matematica
EUCLIDES
NACIONALIDADE Grego
GRANDE FEITO Fundamentou a geometria no século 3 a.C.
‘‘Seu livro Elementos, com os fundamentos da geometria clássica, ainda é
leitura obrigatória entre os matemáticos. Na obra de 23 séculos atrás estão
compilados seus axiomas - verdades lógicas que valem até hoje. Um
exemplo de axioma é "pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer
dois pontos". A obra- prima de Euclides é o segundo livro mais traduzido da
história, atrás apenas da Bíblia.’’
ARQUIMEDES
NACIONALIDADE Grego
GRANDE FEITO Aplicou a geometria na prática no século 3 a.C.
O principal matemático da Antiguidade uniu o mundo abstrato dos números
com o mundo real. É considerado pai da mecânica por estudar forças,
alavancas e densidade de materiais. Foi o primeiro a notar a relação
constante entre o diâmetro e o raio de qualquer circunferência: o número π
(pi). Arquimedes também era inventor. Entre seus trabalhos estão o
parafuso de Arquimedes, usado para tirar água de dentro de navios, e o
aperfeiçoamento da catapulta.
LEONHARD EULER
NACIONALIDADE Suíço
GRANDE FEITO Revolucionou quase toda a matemática no século 18
Seus quase 800 livros fundamentaram campos que seriam estudados
futuramente, como topologia, e revolucionou quase todos os que já
estavam em voga, como cálculo e funções. Ao solucionar um problema que
envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Königsberg,
antiga Prússia, fundou a teoria dos grafos, que possibilitou o surgimento da
topologia e é usada hoje, por exemplo, para
montar as tabelas do Campeonato Brasileiro! Euler ficou cego aos 50 anos
e passou a ditar seus textos ao filho. Muitos matemáticos avaliam que seu
trabalho ficou mais rico após perder a visão.
- O matemático francês François Arago declarou que Euler calculava sem
esforço, "como os homens respiram e as águias mantêm-se no ar"
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