TEMA I Trigonometria e Números Complexos
Miguel Moreira Júlia Justino Mariana Dias
Conteúdo
| 1.1 Introdução | 1 |
| 1.2 O conceito de ângulo | 1 |
| 1.3 Algumas propriedades de triângulos planos | 3 |
1 Trigonometria 1
| 7 | |
| 1.4.1 A relação entre o Seno e o Coseno | 9 |
1.4 As funções Seno e Coseno de ângulos entre 0 e π2
| 12 |
1.5 As funções Secante e Cosecante para ângulos entre 0 e π2
| 13 | |
| 1.7 O círculo trigonométrico | 15 |
| 1.7.1 O Seno e o Coseno no círculo trigonométrico | 15 |
| 1.7.2 A Tangente e a Secante no círculo trigonométrico | 20 |
| 1.7.3 A Cotangente e a Cosecante no círculo trigonométrico | 24 |
| 1.8 Valores de funções trigonométricas para ângulos arbitrários | 28 |
| 1.8.1 Redução de um ângulo arbitrário ao intervalo [0,2π[ | 28 |
| 1.8.2 Redução de uma função trigonométrica ao 1o quadrante | 29 |
| 1.9 Equações com funções trigonométricas | 30 |
| 1.9.1 Equação sen x = sen α | 30 |
| 1.9.2 Outras equações | 31 |
| 1.10 Algumas importantes fórmulas trigonométricas | 3 |
| 1.10.1 O seno da soma | 3 |
| 1.10.2 O coseno da soma | 34 |
| 1.10.3 A lei dos senos | 35 |
| 1.10.4 A lei do coseno | 37 |
| 1.1 Exercícios Propostos | 39 |
| 1.12 Soluções | 4 |
1.6 As funções Tangente e Cotangente para ângulos entre 0 e π2
| 2.1 Introdução | 48 |
| 2.2 Forma algébrica dos números complexos e sua representação geométrica | 49 |
| 2.3 Operações com números complexos na forma algébrica | 53 |
| representação geométrica | 57 |
| 2.5 Operações com números complexos na forma trigonométrica | 61 |
| 2.6 Domínios planos e condições em variável complexa | 6 |
| 2.6.1 |z1 − z2| como distância entre dois pontos | 68 |
| 2.6.2 |z − z1| = |z − z2| como mediatriz de um segmento de recta | 70 |
| 2.6.3 arg (z − z1)= θ como semi-recta | 71 |
| 2.7 Exercícios Propostos | 72 |
1 Trigonometria
1.1 Introdução
"A palavra trigonometria é uma combinação de duas palavras gregas, trigonon,q ue significa triângulo e metron, medir. A palavra apareceu na imprensa em finais do século XVI quando foi usada como título de um trabalho de Bartholomaeus Pitiscus, publicado pela primeira vez em 1595c omos uplementod e um livro sobre esferas. A palavrag rega para ângulo é gonia, e antes falava-se de goniometria como sendo a ciência da medida dos ângulos."in Tom Apostol, Os Primórdios da História da Humanidade, Boletim da SPM-no 47.
1.2 O conceito de ângulo
A noção de ângulo encontra-se rigorosamente caracterizada na obra de Euclides, matemático e geómetra da antiguidade, chamada Elementos. Esta obra encontra-se dividida em treze livros. A oitava definição presente no primeiro livro é precisamente a definição de ângulo plano:
Definição 1 Um ângulo plano é a inclinação mútua de duas rectas que se cruzam num mesmo plano.
Basicamente o conceito de ângulo mede a inclinação relativa de duas rectas que se intersectam. Diz-se que a rotação plana de uma recta em torno dum seu ponto descreve um ângulo positivo se a rotação se verificar no sentido anti-horário. Se a rotação se verificar no sentido horário o ângulo descrito diz-se negativo.
Figura 1: Ângulo α (positivo) e β (negativo) Os ângulos podem ser medidos em graus, radianos ou grados.
Quando através de uma rotação plana, em sentido anti-horário, de uma recta orientada em torno de um seu ponto, esta volta pela primeira vez à posição inicial o ângulo descrito é igual a 360◦ (trezentos e sessenta graus), 2π radianos ou 400 grados.
Se a rotação plana da recta anterior descrever apenas 180◦, π radianos ou 200 grados, a recta fica disposta na mesma direcção embora com uma orientação oposta. É habitual designar este ângulo por ângulo raso.
Se ar otação planad ar ectae m questão descrever 90◦, π2 radianos ou 100 grados o ângulo descrito diz-se recto.
Figura 4: Ângulo recto α = 90◦ = π2 rad = 100 grados.
O sistema de medição de ângulos em graus é designado por sistema sexagesimal,n oq uala s fracções de grau são representadas por minutos (angulares) e segundos(angulares). Como se sabe, nos sistemas sexagesimais, 60 minutos (ou 600) correspondem a 1◦ e 60 segundos (ou 6000) correspondem a 1 minuto.
Exemplo 1 Exprima em graus e radianos, 50 grados.
Resolução:
Como se sabe, 90◦ e π2 radianos correspondem a 100 grados. Assim,
e x radianos
1.3 Algumas propriedades de triângulos planos
Definição 2 Um triângulo plano éu ma figura geométrica com três lados (constituidos por três segmentos de recta) que definem três ângulos internos, como se observar na Figura 5. Nesta figura denotamos os ângulos referidos pelas letras α, β e γ. É habitual representar os lados de um triângulo por letras maiúsculas e os respectivos comprimentos pelas mesmas letras minusculas. Na Figura 5 representamos os lados pelas letras A, B e C.
Figura 5: Triângulo plano.
No caso em que A = B = C o triângulo diz-se equilátero; se tiver dois lados iguais e um diferente diz-se um triângulo isósceles e se tiver os lados todos diferentes o triângulo diz-se escaleno.
No caso em que um dos ângulos internos do triângulo é recto ¡ 90o = π2 rad¢ ,o triângulo diz-se rectângulo. A Figura 6 representa um triângulo rectângulo, onde o ângulo recto se encontra assinalado.
Figura 6: Triângulo rectângulo.
Notemos igualmente que o triângulo ilustrado, apresenta mais dois ângulos internos aqui denotados pelas letras gregas α e β.A s letras a, b e c representam respectivamente os comprimentos dos diferentes lados do triângulo. O lado oposto ao ângulo que é recto designase por hipotenusa. Os restantes lados são designados habitualmente por catetos.
Os triângulos planos, na geometria Euclideana, possuem algumas propriedades que importa referir pela sua utilidade.
Teorema 1 (Teorema de Pitágoras) Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:
Uma das importantes propriedades dos triângulos planos que interessa assinalar, pelo seu alcance, é a que caracteriza a soma dos ângulos internos.
Propriedade 2 A soma dos ângulos internos de um qualquer triângulo é igual a 180o,i sto é, a dois ângulos rectos.
Na Figura7 podemos observar uma construção geométrica que pode servir de base à demonstração deste resultado.
αβ λ r αβ λ r
Com efeito, se fizermos passar uma recta paralela ao lado C, neste caso a recta r, pelo vértice do triângulo que se lhe opõe, facilmente concluímos que
De notar que o resultado enunciado só é válido no contexto da geometria Euclideana, isto é nas geometrias que satisfazem, entre outros, o V axioma (da geoemtria) de Euclides. Este axioma estabelece que por um ponto exterior a uma recta, existe uma e uma só recta paralela à recta dada. Observe-se que este facto esteve por trás dos argumentos atràs apresentados na demonstração efectuada. Existem efectivamente outras geometrias, conhecidas por geometrias não-Euclideanas, igualmente úteis em que o correspondente enunciado é distinto. Como exemplos de geometrias não-Euclideanas que não satisfazem este enunciado podemos referir a geometria dos triângulos esféricos (utilizada na navegação marítima e aérea) e a geometria de Lobachevsky (com aplicações em cosmologia).
Exemplo 2 Suponha que num triângulo rectângulo um dos ângulos internos tem 35◦.Q ual o valor do outro ângulo α não-recto?
Seguidamente iremos referir mais algumas propriedades dos triângulos planos.
Suponha-se que a partir dos lados A1, A2 e A3 de comprimento a1, a2 e a3,d e um dado triângulo A, construímos um novo triângulo B, cujos lados tem comprimentos b1 = ra1, b2 = ra2 e b3 = ra3, em que r representa um qualquer número real estritamente positivo.
AB a rab = AB a rab =
Figura 8: Triângulos semelhantes.
Nestas circunstâncias, o triângulo B diz-se semelhante ao triângulo A eo s lados
Ai e Bi com 1 ≤ i ≤ 3 dos triângulos A e B, dizem-se homólogos.
Definição 3 Sejam A e B dois triângulos com lados A1,A 2 e A3,B 1,B 2 e B3,e comprimen- tos a1,a 2 e a3,b 1,b 2 e b3, respectivamente. Se existir uma constante de proporcionalidade r> 0 tal que bi = rai com 1 ≤ i ≤ 3,e ntão o triângulo B diz-se semelhante a A.
Podemos afirmar, com um pequeno abuso de linguagem que triângulos semelhantes são proporcionais entre si. A propriedade seguinte permite-nos reconhecer triângulos semelhantes recorrendo à noção de ângulo interno.
Propriedade 3 Os triângulos A e B são semelhantes se e só se os ângulos internos de A forem iguais aos ângulos internos de B.
Por outro lado, para verificar com base na observação dos ângulos internos de dois triângulos, que estes são semelhantes, basta assegurar que dois dos ângulos internos de um triângulo são iguais a dois dos ângulos internos de outro. Mais formalmente:
Figura 9: Triângulos com idênticos ângulos internos.
γ *γ Figura 10: Ângulos internos de triângulos semelhantes são iguais.
Propriedade 4 Os triângulos A e B são semelhantes se e só dois dos ângulos internos de A forem iguais a dois dos ângulos internos de B.
Exemplo 3 Na Figura 10 podemos observar que β = β∗ e γ = γ∗. Estas igualdades, bastam para determinar a semelhança destes triângulos.
Na Figura 10 podemos também inferir que lados homólogos definem ângulos internos idênticos. Mais precisamente:
Propriedade 5 Lados homólogos de triângulos semelhantes definem ângulos internos iguais.
Os triângulos planos podem ser agrupados em grupos de triângulos que são semelhantes entre si. Triângulos semelhantes partilham muitas propriedades interessantes.
Exemplo 4 Consideremos a Figura 1 em que estão representados dois triângulos semelhantes e os respectivos comprimentos dos seus lados.
b c b c
*c Figura 1: Triângulos semelhantes.
Então a∗
donde
c e
Este facto mostra que triângulos semelhantes partilham entre si idênticos quocientes de comprimentos de lados adjacentes.
1.4 As funções Seno e Coseno de ângulos entre 0 e π 2
Dados dois quaisquer triângulos rectângulos semelhantes, como os da Figura 12, α β β2 α β β2
Figura 12: Triângulos rectângulos semelhantes.
podemos afirmar que
c e uma vez que triângulos semelhantes partilham entre si a igualdade dos quocientes dos comprimentos dos lados adjacentes. Desta forma, torna-se possível associar univocamente a cada ângulo α ou β de um triângulo deste tipo, qualquer um daqueles quocientes. É desta forma que as funções Seno, Coseno e outras funções trigonométricas podem ser definidas de forma elementar. Estas funções associam números reais a ângulos. Os valores que as funções Seno e Coseno assumem, definem-se para ângulos entre 0 e π2 radianos como se segue, tendo por base a
Figura 13 que representa um triângulo rectângulo.
Definição 4 Considere-se um triângulo rectângulo qualquer tal que α é o ângulo definido pela hipotenusa (de comprimento c) e um dos catetos. A função seno, designada Seno,d efine-se como sendo o quociente entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo α e o comprimento da hipotenusa, isto é:
senα = cateto oposto
hipotenusa
Figura 13: Triângulo rectângulo.
A função coseno, designada Coseno,d efine-se como sendo o quociente entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo α e o comprimentod ah ipotenusa, isto é:
cosα = cateto adjacente hipotenusa = b
Exemplo 5 Determine o valor da função seno de α supondo que α tem o valor de 0, π6 , π4 radianos.
Resolução: Comecemos por observar que quando α tem o valor de 0 radianos o seu cateto oposto tem um comprimento nulo. Desta forma sen0 = 0c = 0.
Quanto ao valor da função seno quando α tem o valor de π6 radianos, consideremos o triân- gulo equilátero da Figura 14.
c α c α
Figura 14: Determinação de sen π6 .
Como é sabido a soma dos ângulos internos de um qualquer triângulo plano é igual a π radianos. Assim, os ângulos internos dum triângulo isósceles são iguais a β = π3 .D esta forma, no triângulo da figura α = π
. Donde se deduz, atendendo à definição de Seno, sen π
Por outro lado, deduz-se também, atendendo ao Teorema de Pitágoras, que
sen π
Consideremos, agora, o quadrado de lado a,s eguinte:
α c α c
Figura 15: Determinação de sen π4 .
Naturalmente α = π4 . Donde, atendendo à definição de Seno sen π
Finalmente, observemos que quando α = π2 , o comprimento do cateto oposto torna-se igual ao comprimento da hipotenusa. Assim, sen π2 = 1.
Em resumo obtemos a Tabela 1:
ângulo Seno 0 0
Tabela 1: Seno de alguns ângulos entre 0 e π2 .
1.4.1 A relaçãoe ntre o Senoe oC oseno
As funções Seno e Coseno encontram-se directamente relacionadas. Consideremos novamente a Figura 16 que representa um triângulo rectângulo.
Figura 16: Triângulo rectângulo.
Por definição senα = a b e cosβ = a
Por outro se α e β representam os ângulos internos adjacentes à hipotenusa então donde senα = a
Isto é,
Por outro lado, se na expressão anterior fizermos
então
O que nos permite obter a expressão equivalente
Estas importantes expressões permitem-nos obter o Seno ou o Coseno de um ângulo α se conhecermos, respectivamente, o Coseno ou o Seno do ângulo π2 − α (este último diz-se, o complementar de α para π2 ).
Exemplo 6 Determine o valor da função coseno de β sabendo que β tem o valor de 0, π6 , radianos.
Resolução: Sabemos que
−α,c om α = π
Por outro lado
Então, atendendo à Tabela 1, temos sucessivamente
= sen π
cos π
= sen π cos π
= sen π cos π
= sen π cos π
Donde obtemos a Tabela 2:
ângulo Coseno 0 1
Tabela 2: Coseno de alguns ângulos entre 0 e π2 .
1.5 As funções Secante e Cosecante para ângulos entre 0 e π 2
As funções SecanteeC osecantep odem ser definidas, para ângulos entre 0 e π2 radianos, com base nas funções Coseno e Seno, atrás definidas.
Definição 5 As funções Secante e Cosecante são as funções que se definem, respectivamente, como cosα e senα .
A partir das definições anteriores e tendo por base a Figura 17
Figura 17: Triângulo rectângulo.
pode constatar-se que a Secante e a Cosecante de um dado ângulo α poder-se-ia ter definido directamente a partir do triângulo rectângulo acima representado. Com efeito se cosα ec osα = b então
b c
Analogamente se mostra que cscα = c
Exemplo 7 Determine o valor da Secante e Cosecante quando α assume os valores 0, π6 , radianos.
Resolução: Tendo por base as tabelas dos valores do Seno e Coseno para os ângulos referidos e as definições das funções Secante e Cosecante, deduz-se facilmente:
ângulo Coseno Secante= 1 Coseno
π2 0 não definida ângulo Seno Cosecante= 1 Seno
0 0 não definida
1.6 As funções Tangente e Cotangente para ângulos entre 0 e π 2
As funções Tangente e Cotangente constituem outras duas importantes funções trigonométri- cas. Estas últimas podem ser definidas, para ângulos entre 0 e π2 radianos, recorrendo às funções Seno e Coseno, atrás referidas.
Definição 6 As funções Tangente e Cotangente são as funções que se definem, respectivamente, como tgα = senα cosα e tgα = cosα senα .
A partir das definições anteriores e tendo por base a figura 18 c
Figura 18: Triângulo rectângulo.
pode observar-se que a Tangente e a Cotangente de umdado ângulo α poder-se-ia ter definido directamente a partir do triângulo rectângulo acima representado. Com efeito se tgα = senα cos α , senα = ac e cosα = b c então
tgα = senα cosα b c b = cateto oposto cateto adjacente .
Analogamente se mostra que cotgα = b a = cateto adjacente cateto oposto .
Exemplo 8 Determine o valor das funções Tangente e Cotangente quando α assume os radianos.
Resolução: Consideremos os valores das funções Seno e Coseno para estes ângulos e as definições das funções Tangente e Cotangente. Deduz-se:
ângulo Seno Coseno Tangente = Seno
Coseno Cotangente = 1 Tangente
1.7 O círculo trigonométrico
O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário, centrado na origem de um referencial cartesiano. Os ângulos são medidos entre o semieixo positivo dos x e um apropriado raio vector aplicado na origem. Se a medição for efectuada no sentido anti-horário o ângulo é positivo. Caso contrário é negativo. Neste círculo, como veremos, será possível identificar com certos comprimentos adequadamente escolhidos, os valores das principais funções trigonométricas para os ângulos considerados. Adicionalmente o círculo trigonométrico permite-nos generalizar os funções trigonométricas atrás definidas para argumentos entre 0 e π2 radianos a outros ângulos.
1.7.1 O Seno e o Coseno no círculo trigonométrico
Observemos a Figura 19 que representa um círculo trigonométrico com um triângulo rectângulo cuja hipotenusa constitui um raio vector aplicado na origem com comprimento unitário. Seja α o ângulo medido no sentido anti-horário entre o semieixo positivo dos x ea hipotenusa do triângulo rectângulo representado. Sejam a e b os comprimentos dos catetos do triângulo rectângulo representado medido de acordo com os sentidos dos correspondentes eixos.
αcos=by x αcos=by x
Figura 19: Seno e Coseno.
Como a hipotenusa do triângulo representado tem o comprimento c = 1, então por definição é imediato concluir que para um ângulo entre 0 e π2 radianos senα = a
Referente ao grupo 2
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